Кудряшев А. Ф.
Модальные онтология в математике.
Онтология как учение о бытии занимает, пожалуй , центральное место в систематической философии, поскольку координирует отношение других ее частей друг к другу и лежит в основе единства всей философии. В онтологии выделяют различные виды бытия и обсуждают их специфические черты. Часто встречающиеся разделения бытия, например, на бытие материальное и идеальное, как правило, не являются строгими классификациями и могут считаться лишь неким приближением к таковым. Критерии классификации выбираются самые разные в зависимости от принятой трактовки бытия и его интерпретации на конкретном материале, что связано в немалой степени с личными привязанностями авторов, а также с давлением господствующей традиции и актуальной проблематики.
В известной традиции, рассматривающей язык в качестве дома бытия, бытие увязано со смыслом высказываний, и рассуждения в рамках онтологии ведутся относительно текстов с различными смысловыми наполнениями. Понимание бытия в языковом ракурсе, к примеру, как атрибута, делающего высказывание осмысленным, побуждает преодолеть упрощенный схематизм распространенных дихотомических или трихотомических классификаций бытия. Они не только не улавливают различные эмоциональные состояния, которые владели автором текста и оставили следы на бумаге, но и недостаточно адекватно отображают объективные модальности возможности, необходимости, и т.п., передаваемые в речи посредством разнообразных языковых конструкций.
В лингвистике же модальность исследуется специально и берется «как комплекс актуализационных категорий, характеризующих с точки зрения говорящего отношение пропозитивной основы содержания высказывания к действительности по доминирующим признакам реальности/ирреальности» [1]. Лингвисты подразделяют модальность в самом общем плане на субъективную и объективную и конкретизируют ее исследования, анализируя модальное поле и типовые модальные ситуации, выражаемые в предложении, или, применительно к тексту в целом, строят его модальную сетку наподобие темпоральной [2].
В формальной логике модальности изучаются и классифицируются в течение более длительного промежутка времени, чем в языкознании. Сложившееся деление суждений по модальности на классы дает основание для различных логик — алетической, деонтической, эпистемической, временной, и т.п. Считается, что алетические модальности, в свою очередь, состоят из ассерторических, аподиктических и проблематических. Ассерторические модальности соотносят с действительностью, посредством аподиктических выражают необходимость, а с помощью проблематических модальностей выделяют возможности. Разработанные в логике классификации модальностей были заимствованы лингвистами. Однако, со временем «в практике лингвистических исследований границы употребления термина «модальность» утратили свою определенность. Трактовка модальности в современной лингвистике необычайно широка, к тому же трудно найти двух авторов, которые понимали бы модальность одинаково» [3]. Такое состояние современной лингвистической теории модальности соответствует сложности языка и изучаемой проблемы. Вместе с тем, оно является результатом широкой, доходящей до универсальной, и притом содержательной трактовки модальности, когда общее, родовое понятие стремятся превратить в систему модальностей, такую же сложную, как сам язык .
Выделение модальностей различных типов можно провести и в математике, при всей ее специфичности, такой, что из-за строгости рассуждений вне собственно математических текстов остаются эмоции или оценочные суждения. Тем не менее, субъективные переживания автора часто оказываются важными, подразумеваются, и их следы в тексте могут ощущаться особо чувствительными натурами. Пожалуй, еще более существенна объективная модальность математических текстов.
Суждения, принадлежащие к области математики, обычно причисляют к суждениям логической модальности (в отличии от модальности физической), выведенным на основе правил логики, а потому к аподиктическим суждениям. «Логически необходимыми считаются правила и законы логики и других дедуктивных наук: математики, чистой механики и т.п.» [4]. Так, суждение «гипотенуза прямоугольного треугольника, катеты которого равны 3 и 4 см, должна быть равна 5 см» [5] принадлежит к классу суждений логической модальности; более общее суждение (теорема Пифагора) «сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы» рассматривается как аподиктическое суждение [6].
Но стоит ли все то, что говорится в математике, «причесывать» под одну модальную гребенку ? Очевидно, что не всякое математическое суждение следует классифицировать как аподиктическое. Реальная картина математики гораздо сложнее. Можно выделить, по крайней мере, три онтологически разных типа математических высказываний. Во-первых, высказывания «как должно быть» (необходимость); во-вторых, типа «как может быть» (возможность); в-третьих, высказывания «как могло бы быть» (реальность — ирреальность). Выделенным типам высказываний можно противопоставить высказывания «как (оно) есть на самом деле». Высказывания каждого типа в отдельности характеризуют определенный мир смыслов и отношений.
Мир «Как (оно) есть» содержит высказывания о действительности. В этом мире бывает, что 10